Question

下列不等式恒成立的是（　　）
①e^x≥1+x
②sinx＜x，x∈[0，π）
③nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*
④ln(1+x)＞x-

x2

2

，x＞0．

A．②③

B．①④

C．②④

D．①③

Answer 1

分析：①首先構造函數f（x）=e^x-x-1，然后求出函數的導數，利用導數與函數單調性的關系進行證明．對于②③可舉出反例說明它們不是恒成立的；對于④設f（x）=ln(1+x)-x+

x2

2

，x＞0，利用 民數研究其單調性，從而得出結論．

解答：解：①設f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
∴當x=0時，f′（x）=0，f（x）=0．
當x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴f（x）＞f（0）=0．
當x＜0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴對x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．故①恒成立；
②當x=0時，sinx=x，故不成立；
③當n=3時，nⁿ⁺¹=3⁴=81，（n+1）ⁿ=4³=64，故nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，n∈N^*，不成立．
④設f（x）=ln(1+x)-x+

x2

2

，x＞0，則f'（x）=

1

1+x

-1+x=

x2

1+x

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，且f（0）=0，∴當x＞0時，f（x）＞f（0）=0，故ln(1+x)＞x-

x2

2

，x＞0．正確．
故選B．

點評：此題主要考查函數導數與函數單調性之間的關系，掌握并會熟練運用導數與函數單調性的關系．