Question

設函數f（x）的定義域是（0，+∞），且對任意的正實數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判斷y=f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給出你的證明；
（3）解不等式f（x²）＞f（8x-6）-1．

Answer 1

分析：（1）由題條件知若能求出f（1）的值，再由1=2×

1

2

即可得到求得f（

1

2

）的值；
（2）題設中有x＞1時，f（x）＞0，故可令0＜x₁＜x₂，由x2=x1•

x2

x1

的恒等變形及題設中的恒等式得到f（x₁）+f（

x2

x1

）=
f（x₂），由此問題得證．做此題時要注意做題步驟，先判斷再證明；
（3）由（2）的結論，利用單調性直接將抽象不等式轉化為一般不等式求解即可

解答：解：（1）令x=y=1，則可得f（1）=0，
再令x=2，y=

1

2

，得f（1）=f（2）+f（

1

2

），故f（

1

2

）=-1
（2）設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）+f（

x2

x1

）=f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），
∵

x2

x1

＞1，故f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在（0，+∞）上為增函數
（3）由f（x²）＞f（8x-6）-1得f（x²）＞f（8x-6）+f（

1

2

）=f[

1

2

（8x-6）]，
故得x²＞4x-3且8x-6＞0，解得解集為{x|

3

4

＜x＜1或x＞3}．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查抽象函數單調性的證明，對于抽象函數的單調性的判斷仍然要緊扣單調性的定義，結合題目中所給性質和相應的條件，對任意x₁、x₂在所給區間內比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小，或

f(x 1)

f(x 2)

的大小．有時根據需要，需作適當的變形：如x1=x2•

x1

x2

，x₁=x₂+x₁-x₂