Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求的值及該圓的方程；

（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，證明：.

Answer 1

【答案】（1），圓的方程為：.（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；

（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，化簡(jiǎn)解得，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別求出，，利用向量的數(shù)量積為0，即可證出.

解：（1）易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，解得.

又圓的圓心為，

所以圓的方程為.

（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，

設(shè)的方程為，

代入的方程，得.

令，得，

所以，解得.

將代入的方程，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以，，

.

故.