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（I）已知函數f（x）=rx-x^r+（1-r）（x>0），其中r為有理數，且0<r<1.求f（x）的最小值；

（II）試用（I）的結果證明如下命題：

設a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數，若b₁+b₂=1，則a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂；

（III）請將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題。注：當α為正有理數時，有求道公式(x^α）^r=αx^α^-1

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•大連二模）（I）已知函數f（x）=x-

，x∈(

，

)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點，且x₁＜x₂．
①求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍及f（x）圖象上任一點切線的斜率k的取值范圍；
②由①你得到的結論是：若函數f（x）在[a，b]上有導函數f′（x），且f（a）、f（b）存在，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=

f(b)-f(a)

b-a

f(b)-f(a)

b-a

成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只寫出結論，不必證明）
（II）設函數g（x）的導函數為g′（x），且g′（x）為單調遞減函數，g（0）=0．試運用你在②中得到的結論證明：
當x∈（0，1）時，f（1）x＜g（x）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•瀘州模擬）已知函數f（x）=ax²+bx+1（a、b為實數），若f（-1）=0且函數f（x）的值域為[0，+∞）．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設F（x）=xf（x），求曲線F（x）在x=1處的切線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湖北）（I）已知函數f（x）=rx-x^r+（1-r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；
（II）試用（I）的結果證明如下命題：設a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數，若b₁+b₂=1，則a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂；
（III）請將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題．注：當α為正有理數時，有求道公式（x^α）^r=αx^α-1．

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科目：高中數學 來源：2012年湖北省高考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（I）已知函數f（x）=rx-x^r+（1-r）（x＞0），其中r為有理數，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；
（II）試用（I）的結果證明如下命題：設a₁≥0，a₂≥0，b₁，b₂為正有理數，若b₁+b₂=1，則a₁^b1a₂^b2≤a₁b₁+a₂b₂；
（III）請將（II）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題．注：當α為正有理數時，有求道公式（x^α）^r=αx^α-1．

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