Question

（普通班做）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G是CC₁，BC，CD的中點．
求證：①AB₁∥平面CDD₁C₁；
②平面EFG∥平面BC₁D．

Answer 1

分析：①在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，先證明四邊形ADC₁B₁為平行四邊形，可得AB₁∥DC₁．再利用直線和平面平行的判定定理證得 AB₁∥平面CDD₁C₁．
②根據FG是△BCD的中位線，故有FG∥BD，從而證明FG∥平面BC₁D，同理可證EF∥平面BC₁D．再根據平面和平面平行的判定定理證得平面EFG∥平面BC₁D．

解答：解：①在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AD和B₁C₁平行且相等，
故四邊形ADC₁B₁為平行四邊形，故AB₁∥DC₁．
而DC₁在平面CDD₁C₁中，AB₁不在平面CDD₁C₁中，故有 AB₁∥平面CDD₁C₁．
②由于E，F，G是CC₁，BC，CD的中點，故FG是△BCD的中位線，故有FG∥BD．
而BD在平面BC₁D內，FG不在平面BC₁D內，故有FG∥平面BC₁D，
同理可證EF∥平面BC₁D．
由于EF和FG是平面EFG內的2條相交直線，故有平面EFG∥平面BC₁D．

點評：本題主要考查正方體的性質，直線和平面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．