Question

如圖，E、F分別為棱長為1的正方體的棱A₁B₁、B₁C₁的中點，點G、H分別為面對角線AC和棱DD₁上的動點（包括端點），則下列關于四面體E-FGH的體積正確的是 （　�。�

A．此四面體體積既存在最大值，也存在最小值

B．此四面體的體積為定值

C．此四面體體積只存在最小值

D．此四面體體積只存在最大值

Answer 1

分析：根據EF∥AC，可知點G到直線EF的距離為定值則三角形EFG的面積為定值，只需研究點H到平面EFG的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍．

解答：解：∵E、F分別為棱長為1的正方體的棱A₁B₁、B₁C₁的中點
∴EF∥A₁C₁，而A₁C₁∥AC
∴EF∥AC
而G為面對角線AC上的動點
∴點G到直線EF的距離為定值則三角形EFG的面積為定值
此四面體體積V=

1

3

S_△EFGh，h為點H到面EFG的距離
根據直線D₁D與面EFG相交，當點H在D₁處h取最大值，在點D處取最小值
∴此四面體體積既存在最大值，也存在最小值
故選A．

點評：本題主要考查了四面體的體積，以及運動中的不變問題，同時考查了了空間想象能力和轉化的思想，屬于中檔題．