Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現有數據：
①a=

3

2

；②a=1；③a=

3

；建立適當的空間直角坐標系，
（ I）當BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，a可能取所給數據中的哪些值？請說明理由；
（ II）在滿足（ I）的條件下，若a取所給數據的最小值時，這樣的點Q有幾個？若沿BC方向依次記為Q₁，Q₂，…，試求二面角Q₁-PA-Q₂的大小．

Answer 1

分析：（ I）建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，設出點Q的坐標，進而得到向量PQ，QD的坐標，再結合PQ⊥QD即可求出結論；
（ II） 由（Ⅰ）知a=

3

2

，此時x=

1

2

或x=

3

2

，即滿足條件的點Q有兩個；再結合PA⊥平面ABCD即可得到∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角，再代入向量的夾角計算公式即可．

解答：解：（ I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標分別為：
A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
設Q（a，x，0）（0≤x≤2），…（2分）
∵

PQ

=(a，x，-2)，

QD

=(-a，2-x，0)，
∴由PQ⊥QD得

PQ

⊥

QD

⇒-a2+x(2-x)=0⇒a2=x(2-x)．
∵x∈[0，2]，a²=x（2-x）∈（0，1]…（4分）
∴在所給數據中，a可取a=

3

2

和a=1兩個值．…（6分）
（ II）  由（Ⅰ）知a=

3

2

，此時x=

1

2

或x=

3

2

，即滿足條件的點Q有兩個，…（8分）
根據題意，其坐標為Q1(

3

2

，

1

2

，0)和Q2(

3

2

，

3

2

，0)，…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．…（10分）
由cos?

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 •AQ2

| AQ1 |×| AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，
得∠Q₁AQ₂=30°，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30°．…（12分）

點評：本題主要考察直線與平面所成的角．解決本題第一問的關鍵在于結合二次函數的性質得到a可取a=

3

2

和a=1兩個值．