Question

設有圓心為(a_k,0),半徑為r_k(k=1,2,…)的一系列半圓C₁,C₂,C₃,…,每相鄰半圓互相外切,并且都和直線y=-x+1相切.

(1)用r_k表示a_k;

(2)用r_k-1表示r_k;

(3)若a₁＜0,半圓C₁和y軸相切,求r₁;

(4)在(3)中的半圓C₁是這一系列半圓的左起第一個半圓,面積為S₁,第k個半圓的面積為S_k,求S₁+S₂+S₃+…+S_k+….

Answer 1

思路解析：這是一個圓與數列相結合的綜合題,首先根據半圓與半圓的相切找到幾個量之間的關系,根據關系判斷數列的類型,再根據數列的類型,完成求和等內容.

解：(1)由題設條件,得直線l的方程為3x+4y-4=0.

圓心到直線的距離

d=r_k=.所以a_k=

(2)連結AC_k,BC_k-1,其中A、B分別為圓C_k與圓C_k-1與l的切點,作C_kD⊥C_k-1B,則ABDC_k是矩形.

k_AB=k_CD=-,所以.

故r_k=r_k-1.

(3)因為a₁＜0,r₁＞0,所以r₁=-a₁.

由點到直線的距離公式可得r₁=.

所以r₁=2.

(4)由(2)可得r_k=r_k-1,r₁=2,

所以r₁,r₂,…,r_k,…構成公比為的等比數列.

又S₁=πr₁²=2π,S₂=π,S₃=π,可知S₁,S₂,…,S_k…構成公比為＜1的等比數列.

所以S₁+S₂+S₃+…+S_k+…=.