Question

（2012•湖北）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數f（x），如果對于任意給定的等比數列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比數列，則稱f（x）為“保等比數列函數”．現有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數：①f（x）=x²；②f（x）=2^x；③f（x）=

|x|

；④f（x）=ln|x|．則其中是“保等比數列函數”的f（x）的序號為（　　）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：根據新定義，結合等比數列性質anan+2=an+12，一一加以判斷，即可得到結論．

解答：解：由等比數列性質知anan+2=an+12，
①f(an)f(an+2)=an2an+22=(an+12) 2=f²（a_n+1），故正確；
②f(an)f(an+2)=2an2an+2= 2an+an+2≠22an+1=f²（a_n+1），故不正確；
③f(an)f(an+2)=

|an||an+2|

=

|an+1|2

=f²（a_n+1），故正確；
④f（a_n）f（a_n+2）=ln|a_n|ln|a_n+2|≠ln|an+1|2=f²（a_n+1），故不正確；
故選C

點評：本題考查等比數列性質及函數計算，正確運算，理解新定義是解題的關鍵．