Question

已知函數f(x)＝lnx＋(a∈R)．

(Ⅰ)當a＝時，如果函數g(x)＝f(x)－k僅有一個零點，求實數k的取值范圍；

(Ⅱ)當a＝2時，試比較f(x)與1的大小；

(Ⅲ)求證：ln(n＋1)＞＋＋＋…＋(n∈N^*)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)當時，，定義域是， 　　， 　　令，得或　　2分 　　當或時，，當時，， 　　∴函數、上單調遞增，在上單調遞減　　4分 　　的極大值是，極小值是． 　　當時，；當時，， 　　當僅有一個零點時，的取值范圍是或　　5分 　　(Ⅱ)當時，，定義域為． 　　令， 　　， 　　在上是增函數　　7分 　　①當時，，即； 　　②當時，，即； 　　③當時，，即　　9分 　　(Ⅲ)(法一)根據(2)的結論，當時，，即． 　　令，則有， 　　　　12分 　　， 　　　　14分 　　(法二)當時，． 　　，，即時命題成立　　10分 　　設當時，命題成立，即． 　　時，． 　　根據(Ⅱ)的結論，當時，， 　　即． 　　令，則有， 　　則有， 　　即時命題也成立　　13分 　　因此，由數學歸納法可知不等式成立　　14分