Question

設函數y=f（x）的定義域為R，f（1）=2，且對任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），當x＞0時，f（x）是增函數，則函數y=-f²（x）在區間[-3，-2]上的最大值是

-16

．

Answer 1

分析：先令x₁=0，求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，得到函數是奇函數．再根據奇函數在對稱的區間上單調性相同，結合題意，得到x＜0時，f（x）是增函數．問題轉化為求f（-2）的值，我們不難利用f（1）=2，求出f（2），最終得出f（-2）的值．

解答：解：先證f（x）為奇函數
∵定義在R上的函數y=f（x），對任意x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）．解得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數．
∵當x＞0時，奇函數f（x）是增函數，
∴當x＜0時，f（x）也是增函數，
∴在區間[-3，-2]上，f（-3）≤f（x）≤f（-2）
根據函數定義可求得f（-3）=-f（3）=-6，f（-2）=-f（2）=-4，
∴在區間[-3，-2]上，-6≤f（x）≤-4
∴y=-f²（x）在區間[-3，-2]上的最大值是-16
故答案為：-16

點評：本題主要考查了抽象函數的奇偶性的判定，以及賦值法的應用，屬于中檔題．充分利用函數的單調性與奇偶性，是解決本題的關鍵．