Question

若正三棱錐底面邊長為1，側棱與底面所成的角為

π

4

，則其體積為

1

12

．

Answer 1

分析：欲求正三棱錐的體積，先求正三棱錐的高，由題意，頂點在底面中的射影是底面的中心，從而利用側棱與底面所成角為45°角，可求高，從而得解

解答：解：先求正三棱錐的高，由題意，頂點P在底面中的射影是底面的中心O，

∠PAO為側棱與底面所成角，∠PAO=45°，
從而有高PO=OA=

2

3

×

3

2

×1=

3

3

又底面積S△ABC=

3

4

×1×1=

3

4

∴正三棱錐的體積V=

1

3

×

3

4

×

3

3

=

1

12

故答案為：

1

12

點評：本題主要考查棱錐，線面關系、直線與平面所成的角、點到面的距離等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉化為求點到平面的距離．