Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：x=-將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1：3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）橢圓離心率為，線l：x=-將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1：3，可確定幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理及向量知識，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）設F₂（c，0），則=，所以c=1．
因為離心率e=，所以a=，所以b=1
所以橢圓C的方程為．                    …（6分）
（Ⅱ）當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x=-，此時P（，0）、Q（，0），．
當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M（-，m） （m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0，
則-1+4mk=0，∴k=．
此時，直線PQ斜率為k₁=-4m，PQ的直線方程為，即y=-4mx-m．
聯立消去y，整理得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
所以，．
于是=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=
==．
令t=1+32m²，1＜t＜29，則．
又1＜t＜29，所以．
綜上，的取值范圍為[-1，）．…（15分）
點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．