Question

已知拋物線C：y²=2px，直線l：y=x-2與拋物線C交于點A，B，與x軸交于點M．
（1）若拋物線焦點坐標為(

1

4

，0)，求直線l與拋物線C圍成的面積；
（2）直線y=2x與拋物線C交于異于原點的點P，MP交拋物線C于另一點Q，求證：當p變化時，點Q在一條定直線上．

Answer 1

分析：（1）由題意知拋物線方程為y²=x，拋物線與直線l：y=x-2的交點坐標為（1，-1）和（4，2），由此可求出直線l與拋物線C圍成的面積．
（2）解方程組

y2=2px y=2x

得P(

p

2

，p)，M（2，0），由此可知當p變化時，點Q在一條定直線y=-4上．（10分）

解答：解：（1）拋物線方程為y²=x
拋物線與直線l：y=x-2的交點坐標為（1，-1）和（4，2）
直線l與拋物線C圍成的面積為：2

∫

1 0

x

dx+

∫

4 1

[

x

-(x-2)]dx=

9

2

（4分）
（2）解方程組

y2=2px y=2x

得P(

p

2

，p)，M（2，0）
PQ直線方程為y=

2p

p-4

(x-2)與拋物線y²=2px交點Q縱坐標為-4
當p變化時，點Q在一條定直線y=-4上．（10分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．