Question

橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點F₁（-c，0），F₂（c，0），M是橢圓上一點．
（1）若M的坐標為（2，0），橢圓的離心率e=

3

2

，求a，b的值；
（2）若

F1M

•

F2M

=0．
①求橢圓的離心率e的取值范圍；
②當橢圓的離心率e取最小值時，點N（0，3）橢圓上的點的最遠距離為5

2

，求此時橢圓G的方程．

Answer 1

（1）由橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）及橢圓上的一點M的坐標為（2，0）
可知a=2，
又

c

a

=

3

2

，∴c=

3

，b=1，∴橢圓的方程為 

x2

4

+y2=1．
（2）①設M（x₀，y₀），
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1
∵

F1M

•

F2M

=0，
∴（x₀+c，y₀）•（x₀-c，y₀）=0，

x

20

=a2(2-

a2

c2

)，
∵0≤x₀≤a²
∴0≤a2(2-

a2

c2

)≤a2，解得  e2≥

1

2

．
∴e∈[

2

2

，1)
②當e=

2

2

時，設橢圓G的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1
設H（x，y）為橢圓上一點，則|HN|²；；=x²+（y-3）²；；=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得   b=-3±5

2

 （舍去），
若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，∴所求的橢圓的方程為   

x2

32

+

y2

16

=1．