Question

如圖（1）在等腰△ABC中，D，E，F分別是AB，AC和BC邊的中點，∠ACB=120°，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如圖（2））
（I）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在線段BC是否存在一點P，但AP⊥DE？證明你的結論．

Answer 1

解：（I）如圖1在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF．
方法一：（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，∴AD⊥BD，
∴AD⊥平面BCD，
取CD的點M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角．
設CD=a，則AC=BC=2a，AD=DB=，
在△DFC中，設底邊DF上的高為h
由，∴h=
在Rt△EMN中，EM=，MN=h=，∴tan∠MNE=2
從而cos∠MNE=
（Ⅲ）在線段BC上不存在點P，使AP⊥DE，
證明如下：在圖2中，作AG⊥DE，交DE于G交CD于Q由已知得∠AED=120°，于是點G在DE的延長線上，從而Q在DC的延長線上，過Q作PQ⊥CD交BC于P，∴PQ⊥平面ACD，∴PQ⊥DE，∴DE⊥平面APQ，∴AP⊥DE．
但P在BC的延長線上．
方法二（Ⅱ）如圖3以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，
設CD=a，則AC=BC=2a，AD=DB=，則A（0，0，），B（，0，0），C（0，．
取平面CDF的法向量為，設平面EDF的法向量為，
則，得取，
∴，所以二面角E-DF-C的余弦值為；
（Ⅲ）設P（x，y，0），則，∴y=3a，
又，
∵
把，可知點P在BC的延長線上
所以在線段BC上不存在點P使AP⊥DE．
分析：（I）利用線線平行證明線面平行，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，從而可證AB∥平面DEF；
方法一：（II）取CD的點M，使EM∥AD，過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF，從而可得∠MNE是二面角E-DF-C的平面角，進而可得tan∠MNE=2，從而可得二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在線段BC上不存在點P，使AP⊥DE，作AG⊥DE，交DE于G交CD于Q由已知得∠AED=120°，于是點G在DE的延長線上，從而Q在DC的延長線上，過Q作PQ⊥CD交BC于P，可得P在BC的延長線上．
方法二（Ⅱ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面CDF的法向量為，平面EDF的法向量為，從而可求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）設P（x，y，0），利用，，求得P的坐標，從而可得在線段BC上不存在點P使AP⊥DE．
點評：本題線面平行，考查面面角，考查存在性問題，解題的關鍵是利用線面平行的判定，確定面面角，同時注意向量方法的運用．