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對一切的x∈（0，+∞），3x2+2ax-2xlnx+1≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

解：∵x＞0，∴3x2+2ax-2xlnx+1≥0可化為恒成立．（3分）
令，則 （6分）
令h′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴x＞1，
∴函數在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減
∴x=1時，h（x）取得最大值-2，（ 10分）
∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）． （12分）
分析：先分離參數，再用導數法，求出相應函數的最值，即可求實數a的取值范圍．
點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查函數的最值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2
（Ⅰ）如果函數g（x）的單調遞減區間為（-
13
，1），求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對一切的x∈（0，+∞），3x2+2ax-2xlnx+1≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=x3+ax2-x+2，g（x）=xlnx．
（1）如果函數f（x）的單調遞減區間為(-
13
，1)，求函數f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數y=f（x）的圖象過點P（1，1）的切線方程；
（3）對一切的x∈（0，+∞），f'（x）+2≥2g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省南京九中高三（上）10月月考數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-x+2
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

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