Question

設函數f(x)=

x2+bx+c(x≤0) 2(x＞0)

，其中b＞0，c∈R．當且僅當x=-2時，函數f（x）取得最小值-2．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有兩個零點，求實數a取值的集合．

Answer 1

分析：（1）由題意，當且僅當x=-2時，函數f（x）取得最小值-2，即為二次函數當x=-2時，函數f（x）取得最小值-2，從而利用二次函數求最值的方法可求；
（2）由題意，方程可化為x²+3x+2-a=0，要使方程有兩不等實根，則判別式=9-4（2-a）＞0，解不等式可求．

解答：解：（1）由于二次函數的對稱軸為x=-

b

2

此時有最小值
即-

b

2

=-2，f(-2)=4-2b+c=-2
解得b=4，c=2
所以f（x）=

x2+4x+2，  x≤0 2，  x＞0

，
（2）由題意，方程可化為x²+3x+2-a=0
要使方程有兩不等實根，則判別式=9-4（2-a）＞0
解得a＞-

1

4

∴a取值范圍的集合為{a|a＞-

1

4

}

點評：本題的考點是函數的零點與方程根的關系，主要考查函數解析式的求解，考查函數的零點與方程根的關系，關鍵是將問題轉化為對應方程根的問題．