Question

設f（x）與g（x）是定義在同一區間D上的兩個函數，若?x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱f（x）和g（x）是D上的“接近函數”，D稱為“接近區間”；若?x∈D，都有|f（x）-g（x）|＞1，則稱f（x）和g（x）是D上的“遠離函數”，D稱為“遠離區間”．給出以下命題：
①f（x）=x²+1與g（x）=x²+

3

2

是（-∞，+∞）上的“接近函數”；
②f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x-3的一個“遠離區間”可以是[2，3]；
③f（x）=

1-x2

和g（x）=-x+b（b＞

2

）是（-1，1）上的“接近函數”，則

2

＜b≤

2

+1；
④若f（x）=

lnx

x

+2ex與g（x）=x²+a+e²（e是自然對數的底數）是[1，+∞）上的“遠離函數”，則a＞1+

2

e

．
其中的真命題有

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：根據已知中“接近函數”和“遠離函數”的定義，逐一分析題目中給定的四組函數是否符號定義，最后綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：對于①，若f（x）=x²+1與g（x）=x²+

3

2

，則|f（x₀）-g（x₀）|=1恒成立，
故f（x）=x²+1與g（x）=x²+

3

2

是（-∞，+∞）上的“接近函數”；
故①正確；
對于②，若f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x-3，
則|f（x₀）-g（x₀）|=|x₀²-5x₀+7|=|（x₀-

5

2

）²+

3

4

|，
當x₀∈[2，3]時，|f（x₀）-g（x₀）|≤1恒成立，
故[2，3]是f（x）=x²-3x+4與g（x）=2x-3的一個“接近區間”，
故②錯誤；
對于③，若f（x）=

1-x2

和g（x）=-x+b（b＞

2

）是（-1，1）上的“接近函數”，
則?x∈（-1，1）使|f（x）-g（x）|≤1，
即?x∈（-1，1）使-x+b-

1-x2

≤1，
即?x∈（-1，1）使b≤（

1-x2

+1+x）_max，
令h（x）=

1-x2

+1+x，則h′（x）=1-

x

1-x2

，
則當x∈（-

2

2

，

2

2

）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數；當x∈（

2

2

，1）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數；
故當x=

2

2

時，h（x）取最大值

2

+1，
則

2

＜b≤

2

+1；
故③正確；
④若f（x）=

lnx

x

+2ex與g（x）=x²+a+e²（e是自然對數的底數）是[1，+∞）上的“遠離函數”，
即?x∈[1，+∞），
|

lnx

x

+2ex-x²-a-e²|=|a-

lnx

x

-2ex+x²+e²|=|（x-e）²+a-

lnx

x

|＞1，
令p（x）=（x-e）²+a，則p（x）在（-∞，e）上遞減，在（e，+∞）上遞增，
∴當x=e時，p（x）取最小值a；
令q（x）=

lnx

x

，則q′（x）=

1-lnx

x2

，易得q（x）在（-∞，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，
∴當x=e時，p（x）取最大值

1

e

；
∴|（x-e）²+a-

lnx

x

|_min=|a-

1

e

|＞1，
即a＞1+

1

e

或a＜-1+

1

e

．
故④錯誤；
故真命題有：①③，
故答案為：①③．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中正確理解“接近函數”和“遠離函數”的定義，是解答的關鍵．