Question

定義在R上的偶函數R滿足，x＞0時，f（x）=x+

4

x

．
（1）求x＜0時，f（x）的解析式；
（2）求證：函數f（x）在區間（0，2）上遞減．

Answer 1

分析：（1）利用所求函數的區間與已知區間是對稱的，再結合奇偶性求解；（2）利用定義判斷函數的單調性．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，
因為x＞0時，f(x)=x+

4

x

，
所以 f(-x)=-x-

4

x

，
因為該函數是偶函數，所以f(x)=-x-

4

x

．
（2）任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
所以f(x1)-f(x2)=-x1-

4

x1

+x2+

4

x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因為0＜x₁＜x₂＜2，
所以4＞x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）在區間（0，2）上遞減．

點評：本題考察利用函數奇偶性求函數解析式和函數單調性的判斷，屬基礎題．