Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)BD′的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：OM為異面直線(xiàn)AA′和BD′的公垂線(xiàn)；
（Ⅱ）求二面角M-BC′-B′的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）由題意及圖形，利用正方體的特點(diǎn)及異面直線(xiàn)間的公垂線(xiàn)的定義可以求證；
（2）由題意及圖形，利用三垂線(xiàn)定理，求出所求的二面角的平面角，然后再在三角形中求出角的大小．
解法二：（1）由題意及正方體的特點(diǎn)可以建立如圖示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)證明兩條直線(xiàn)垂直；
（2）由題意及空間向量的知識(shí)，抓好兩平面的法向量與二面角之間的關(guān)系進(jìn)而可以求出二面角的大小
解答：解：法一（1）連接AC，取AC中點(diǎn)K，
則K為BD的中點(diǎn)，連接OK
因?yàn)镸是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD′的中點(diǎn)
所以AM
所以MO
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因?yàn)锳K⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因?yàn)镺M是異面直線(xiàn)AA′和BD′都相交
故OM為異面直線(xiàn)AA'和BD'的公垂線(xiàn)；
（2）取BB′中點(diǎn)N，連接MN，
則MN⊥平面BCC′B′
過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC′于H，連接MH
則由三垂線(xiàn)定理得BC’⊥MH
從而，∠MHN為二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=
故二面角M-BC′-B′的大小為arctan2．

法二：
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD′的中點(diǎn)
所以M（1，0，），O（，，），
=（0，0，1），=（-1，-1，1）=0，+0=0
所以O(shè)M⊥AA′，OM⊥BD′
又因?yàn)镺M與異面直線(xiàn)AA′和BD′都相交
故OM為異面直線(xiàn)AA′和BD′的公垂線(xiàn)；
（2）設(shè)平面BMC'的一個(gè)法向量為=（x，y，z）
=（0，-1，），=（-1，0，1）
即
取z=2，則x=2，y=1，從而=（2，1，2）
取平面BC′B′的一個(gè)法向量為=（0，1，0）
cos
由圖可知，二面角M-BC′-B′的平面角為銳角
故二面角M-BC′-B′的大小為arccos．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面垂直、二面角、正方體等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．