Question

已知數列{a_n}，其前n項和為S_n，點（n，S_n）在以F（0，

1

4

）為焦點，以坐標原點為頂點的拋物線上，數列{b_n}滿足b_n=2 an．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=a_n×b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（1）以F（0，

1

4

）為焦點，以坐標原點為頂點的拋物線方程為x²=y
∵點（n，S_n）在x²=y上，
∴S_n=n²
∴n≥2時，S_n-1=（n-1）²
兩式相減可得a_n=2n-1
∵n=1時，a₁=1滿足上式
∴a_n=2n-1，
∴bn=22n-1；
（2）由（1）知，c_n=（2n-1）×2^2n-1
∴T_n=1×2¹+3×2³+…+（2n-1）×2^2n-1
∴4T_n=1×2³+3×2⁵+…+（2n-1）×2²ⁿ⁺¹
兩式相減可得-3T_n=2¹+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹=

(10-12n)×4n-10

3

∴T_n=-

(10-12n)×4n-10

9

．