Question

如圖，橢圓：的右焦點與拋物線的焦點重合，過作與軸垂直的直線與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當時，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為 ． （Ⅱ）實數取值范圍為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點．

所以橢圓的方程為：．

解方程組 得C（1，2），D（1，-2）． 由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，

∴，， ∴ ．       2分

因此，，解得并推得．

故橢圓的方程為 ．                  4分

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在.

設：，，，，

由得.

，.  6分

，.

∵＜，∴，

∴∴，

∴，∴.∴，  8分

∵，∴，

，.

∵點在橢圓上，∴，

∴∴，  10分

∴或，

∴實數取值范圍為.  12分

考點：本題主要考橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，拋物線的幾何性質，直線橢圓的位置關系，平面向量的線性運算。

點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了拋物線及橢圓的幾何性質，建立a,b,c的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）結合向量的坐標運算，確定得到t的函數式，通過確定函數的值域，達到確定實數取值范圍的目的。利用函數思想解題，是一道好例。