Question

已知函數f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（Ⅰ）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當m=1時，判斷方程f（x）=g（x）在區間（1，+∞）上有無實根．
（Ⅲ）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1時函數的導數，由點斜式寫出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）代入m的值，把判斷方程f（x）=g（x）在區間（1，+∞）上有無實根轉化為判斷函數h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上有無零點問題，求導后利用函數的單調性即可得到答案；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理變形后把參數m分離出來，x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，轉化為實數m小于一個函數在（1，e]上的最小值，然后利用導數分析函數在（1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）m=2時，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，切點坐標為（1，0），∴切線方程為y=4x-4；
（Ⅱ）m=1時，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數，
又h（1）=0，所以f（x）=g（x）在（1，+∞）內無實數根； 
（Ⅲ）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，也就是m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當x∈（1，e]時，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
由G′(x)=

(2+2lnx+2)(x2-1)-(2x+2xlnx)•2x

(x2-1)2

=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2+1)2

，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴當x∈（1，e]時G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上單調遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為G(e)=

4e

e2-1

，
則m的取值范圍是(-∞，

4e

e2-1

)．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了函數零點的判斷方法，考查了數學轉化思想，訓練了利用分離變量法解決恒成立的問題，數學轉化思想是該題的精髓所在，屬中高檔題．