Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+cx（a≠0，a∈R，c∈R），當x=1時，f（x）取得極值﹣2．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的單調區間和極大值；
（3）若對任意x1、x2∈[﹣1，1]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t恒成立，求實數t的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得：f′（x）=3ax2+c

又當x=1時，f（x）取得極值﹣2，

∴ ，即 ，解得

∴f（x）=x3﹣3x．

（2）解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=±1，

當﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；

當x＜﹣1或x＞1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；

∴函數f（x）的遞增區間是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）；遞減區間為（﹣1，1）．

因此，f（x）在x=﹣1處取得極大值，且極大值為f（﹣1）=2

（3）解：由（2）知，函數f（x）在區間上單調遞減，

且f（x）在區間上的最大值為M=f（﹣1）=2．最小值為m=f（1）=﹣2．

∴對任意x1、x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=4成立．

故t≥4，t的最小值為4

【解析】（1）求出f（x）的導數，得到關于a，c的方程組，解出a，c的值即可；（2）解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極大值即可；（3）求出f（x）在[﹣1，1]的最大值和最小值，]，從而求出|f（x1）﹣f（x2）|的最大值，得到t的最小值即可
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．