Question

4．設函數f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且對任意a，b∈[-1，1]，當a+b≠0時，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）求證：f（x）在[-1，1]上單調遞增；
（2）解不等式f（x-1）＜f（2x-1）；
（3）記P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c²）}．若P∩Q≠∅，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數單調性的定義進行證明：在區間[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函數為奇函數的性質結合已知條件中的分式，可以證得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函數f（x）是[-1，1]上的增函數．
（2）根據（1）中單調性，可得-1≤x-1＜2x-1≤1，解得答案；
（3）由函數的定義域及函數的單調性求解．

解答 （1）證明：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
則f（x）是[-1，1]上的增函數． 
（2）解：若f（x-1）＜f（2x-1），則-1≤x-1＜2x-1≤1，
解得：x∈（0，1]，
故不等式f（x-1）＜f（2x-1）的解集為（0，1]；
（3）由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c，
∴P={x|-1+c≤x≤1+c}．
由-1≤x-c²≤1，得-1+c²≤x≤1+c²，
∴Q={x|-1+c²≤x≤1+c²}．
P∩Q=∅，
∴1+c＜-1+c²或-1+c＞1+c²，
解得c＞2或c＜-1．
∴P∩Q≠∅，-1≤c≤2．

點評 本題考查了抽象函數的單調性與函數的值域、集合的關系等知識點，屬于中檔題．