Question

過圓x²+y²=1上一點作切線與x軸，y軸的正半軸交于A、B兩點，則|AB|的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：用截距式設出切線方程，由圓心到直線的距離等于半徑以及基本不等式可得：

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令t=

a2+b2

，可得t的最小值為 2，進而得到答案．

解答：解：設切線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），即 bx+ay-ab=0，
由圓心到直線的距離等于半徑得

|0+0-ab|

a2+b2

=1，
所以ab=

a2+b2

≤

a2+b2

2

，令t=

a2+b2

，
則有t²-2t≥0，t≥2，故t的最小值為 2．
由題意知  t=|AB|，
故選C．

點評：本題考查點到直線的距離公式和基本不等式的應用，體現了換元的思想（在換元時應該注意等價換元）．