Question

為了研究某高校大學新生學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖．已知前4組的頻數從左到右依次是等比數列{a_n}的前四項，后6組的頻數從左到右依次是等差數列{b_n}的前六項．
（Ⅰ）求等比數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求等差數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）若規定視力低于5.0的學生屬于近視學生，試估計該校新生的近視率μ的大小．

Answer 1

分析：（I）利用頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標×組據；頻數=頻率×樣本容量，求出等比數列的第一，二項，求出公比，利用等比數列的通項公式求出通項．
（II）利用等比數列的通項公式求出前三項；求出后六項的和；利用等差數列的前n項和公式求出公差；再利用等差數列的通項公式求出通項．
（III）據頻率等于樣本頻數除以樣本容量，求出近視率．

解答：解：（I）由題意知：a₁=0.1×0.1×100=1，a₂=0.3×0.1×100=3．（2分）
∵數列{a_n}是等比數列，∴公比q=

a2

a1

=3，
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1．（4分）
（II）∵a₁+a₂+a₃=13，
∴b₁+b₂+…+b₆=100-（a₁+a₂+a₃）=87，（6分）
∵數列{b_n}是等差數列，
∴設數列{b_n}公差為d，則得，
b₁+b₂+…+b₆=6b₁+15d∴6b₁+15d=87，∵b₁=a₄=27，∴d=-5，（8分）
∴b_n=32-5n（10分）
（III）μ=

a1+a2+a3+b1+b2+b3+b4

100

=0.91，
（或μ=1-

b5+b6

100

=0.91）
答：估計該校新生近視率為91%．（14分）

點評：本題考查頻率分布直方圖的縱坐標是

頻率

組據

、頻率=縱坐標×組據、頻數=頻率×樣本容量；
等比數列的通項公式、等差數列的通項公式及前n項和．