Question

已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f（1）=

1

2

．
（1）若n∈N^*時，求f（n）的表達式；
（2）設a_n=f（n），（n∈N^*），求證：a₁+a₂+…a_n＜1．
（3）設b_n=

nf(n+1)

f(n)

  (n∈N*)，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），取x=n，y=1，可得f（n+1）=f（n）f（1），再利用等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數列的前n項和公式即可得出；
（3）利用等差數列的前n項和公式、“裂項求和”即可得出．

解答：解：（1）∵f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），f(1)=

1

2

，
∴f（n+1）=f（n）f（1），
即

f(n+1)

f(n)

=f(1)=

1

2

，
∴f（n）為首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，
∴f(n)=(

1

2

)(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（2）∵f(n)=

1

2n

，∴an=

1

2n

，a1+a2+…+an=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1．
（3）∵

f(n+1)

f(n)

=

1

2

，∴bn=

nf(n+1)

f(n)

 =

n

2

，
∴sn=b1+b2+…+bn=

1

2

•

n+1

2

n=

4

(n+1)n

，
∴

1

sn

=

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

4n

n+1

．

點評：熟練掌握等比數列的通項公式、前n項和公式、等差數列的前n項和公式、“裂項求和”是解題的關鍵．