Question

已知雙曲線滿足條件：（1）焦點為F₁（-5，0），F₂（5，0）；（2）離心率為，求得雙曲線C的方程為f（x，y）=0．若去掉條件（2），另加一個條件求得雙曲線C的方程仍為f（x，y）=0，則下列四個條件中，符合添加的條件可以是（ ）
①雙曲線上的任意點P都滿足||PF₁|-|PF₂||=6；
②雙曲線的漸近線方程為4x±3y=0；
③雙曲線的焦距為10；
④雙曲線的焦點到漸近線的距離為4．
A．①③
B．②③
C．①④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：根據所給的條件結合雙曲線的性質能否得出離心率為，，即可判斷添加的條件是否合適．
解答：解：對于①，∵||PF₁|-|PF₂||=2a=6
∴a=3
又∵焦點為F₁（-5，0），F₂（5，0）
∴c=5
∴離心率e= 故①符合條件
對于②，∵近線方程為4x±3y=0
∴=
又∵c=5 c²=a²+b²
∴a=3
∴離心率e=故②符合條件
對于③，可知c=5，這與（1）得出的結論相同
∴故③不合條件
對于④，焦點到漸進方程bx+ay=0的距離為d=
∴b=4，a=3
∴離心率e= 故④符合條件
故選D
點評：本題考查了雙曲線的定義以及性質，要區別雙曲線與其他圓錐曲線中a、b、c的關系，屬于中檔題．