Question

已知等比數列{a_n}的公比q＞1，4是a₁和a₄的一個等比中項，a₂和a₃的等差中項為6，若數列{b_n}滿足b_n=log₂a_n（n∈N*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由4是a₁和a₄的一個等比中項，a₂和a₃的等差中項為6，求出數列的首項和公比，可求得數列{a_n}、數列{b_n}的通項公式；
（2）把數列{a_n}、數列{b_n}的通項公式代入a_nb_n，利用錯位相減法求得其前n項和S_n．
解答：解：（1）因為是a₁和a₄的一個等比中項，
所以．
由題意可得
在為q＞1，所以a₃＞a₂．
解得
所以．
故數列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ．

（2）由于b_n=log₂a_n（n∈N^*），
所以b_n=n，a_nb_n=n•2ⁿ．S_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1•2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=．
所以S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．
點評：考查等比數列求通項公式和等差、等比中項的概念即錯位相減法求數列的前項和S_n，等差數列和等比數列之間的相互轉化，屬中檔題．