Question

如圖，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓短軸的一個端點，過的直線與橢圓交于兩點，的面積為，的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 由題意知：，解得

∴ 橢圓的方程為                                      ………  6分

（Ⅱ）假設存在橢圓上的一點，使得直線與以為圓心的圓相切，則 到直線的距離相等,

：      

：                                 ………  8分

                    ………  9分

化簡整理得：                         ………  10分

∵ 點在橢圓上，∴

解得： 或 （舍）                                  …… 14分

時，，， [來源:]

∴ 橢圓上存在點，其坐標為或，使得直線與以為圓心的圓相切                                      ………  16分

 

 

【解析】略