Question

設二次函數對于任意實數，和恒成立。
（1）求證：b+c=-1；
（2）求證：c≥3；
（3）若函數的最大值為8，求b和c的值。

Answer 1

（1）證明：，且，
∴，
，且，
∴，
∴，即1+b+c=0，
∴b+c=-1。
（2）證明：由（1）知，b=-（c+1），
∴，
時，恒成立，
∴當時，成立，
又，
∴，即恒成立，
∴c≥3。
（3）解：=，
，
∴當時，取得最大值，即2+2c=8，
∴c=3，
又b=-（c+1），
∴b=-4。