Question

已知O，A，B三點(diǎn)不共線，且滿足：

OC

=2

OA

，

OD

=3

OB

，設(shè)

OA

=

a

，

OB

=

b

，若直線AD與BC相交于點(diǎn)E，則向量

OE

=

4

5

a

+

3

5

b

．（用向量

a

，

b

表示）

Answer 1

分析：設(shè)

BE

=λ

EC

，利用向量的減法法則并結(jié)合題意，算出

OE

=

1

1+λ

b

+

2λ

1+λ

a

．再設(shè)

AE

=μ

ED

，同樣的方法算出

OE

=

3μ

1+μ

b

+

1

1+μ

a

，根據(jù)平面向量基本定理解出λ、μ之值，即可得到

OE

用

a

、

b

表達(dá)的式子．

解答：解：設(shè)

BE

=λ

EC

，則

OE

-

OB

=λ(

OC

-

OE

)
化簡(jiǎn)得

OE

=

1

1+λ

OB

+

λ

1+λ

OC

=

1

1+λ

OB

+

2λ

1+λ

OA

∵

OA

=

a

，

OB

=

b

，
∴

OE

=

1

1+λ

b

+

2λ

1+λ

a

再設(shè)

AE

=μ

ED

，同理算出

OE

=

3μ

1+μ

b

+

1

1+μ

a

根據(jù)平面向量基本定理，得

1

1+λ

=

3μ

1+μ

且

2λ

1+λ

=

μ

1+μ

解之得λ=

2

3

，μ=

1

4

．由此可得

OE

=

4

5

a

+

3

5

b

故答案為：

4

5

a

+

3

5

b

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形邊的中點(diǎn)和三等分點(diǎn)，求用

a

、

b

表示

OE

的式子．著重考查了平面向量的減法法則和平面向量的基本定理及其意義等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．