Question

已知：函數f（x）=2sin（x-

π

4

）
（1）求函數f（x）在x∈[-

π

12

，π]時的值域；
（2）求函數f（x）在x∈[-

π

12

，π]時的單調區間．

Answer 1

分析：（1）當x∈[-

π

12

，π]時，x-

π

4

∈[-

π

3

，

3π

4

]．結合正弦函數的圖象與性質，可得當x=

3π

4

時，函數f（x）的最大值為2，當x=-

π

12

時有最小值為-

3

，由此即可得到函數f（x）在x∈[-

π

12

，π]時的值域；
（2）令t=x-

π

4

，根據已知條件得t∈[-

π

3

，

3π

4

]，結合y=sint在∈[-

π

3

，

3π

4

]上的單調區間，即可得到f（x）在區間[-

π

12

，π]上的單調性，得到本題答案．

解答：解：∵x∈[-

π

12

，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

3

，

3π

4

]
（1）∵當x=

3π

4

時，x-

π

4

=

π

2

∴當x=

3π

4

時，函數f（x）=2sin（x-

π

4

）有最大值為2
∵f（-

π

12

）=2sin（-

π

3

）=-

3

，f（π）=2sin

3π

4

=

2

∴函數f（x）在x∈[-

π

12

，π]時的最小值為f（-

π

12

）=-

3

，
綜上所述，可得函數f（x）在x∈[-

π

12

，π]時的值域為[-

3

，2]；
（2）∵x∈[-

π

12

，

3π

4

]時，t=x-

π

4

∈[-

π

3

，

π

2

]，y=sint在[-

π

3

，

π

2

]是關于t的增函數，
∴f（x）在區間[-

π

12

，

3π

4

]上是增函數
而x∈[

3π

4

，π]時，t=x-

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]，y=sint在[

π

2

，

3π

4

]是關于t的減函數，
∴f（x）在區間[

3π

4

，π]上是減函數．

點評：本題給出三角函數f（x）=2sin（x-

π

4

），求函數在區間[-

π

12

，π]上的單調性與值域．著重考查了正弦函數的圖象與性質的知識，屬于基礎題．