Question

（２０）已知正項數列，其前項和滿足且成等比數列，求數列的通項

Answer 1

解：

∵10S_n=a_n²+5a_n+6,  ①   

∴10a₁=a₁²+5a₂+6,  解之得a₁=2或a₁=3.

  又  10S_n－1=a_n－1²+5a_n－2+6,(n≥2)，      ②

由①－②得    10a_n=(a_n²－a_n－1²)+5(a_n－a_n－1), 

即（a_n+a_n－1）(a_n－a_n－1－5)=0.

∵a_n+a_n－1＞0,       

∴a_n－a_n－1=5  (n≥2).

當a₁=3時,a₂=13，a_n=73,a₁,a₂,a_n不成比數列，a₁≠3.

當a₁₌₂時,a₂=12，a_n=72，有a₃²=a₁a₂,     

∴a₁=2,  ∴a_n=5n－3.