Question

已知曲線C上的動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）動點E在直線l上，過點E分別作曲線C的切線EA，EB，切點為A、B．
（ⅰ）求證：直線AB恒過一定點，并求出該定點的坐標；
（ⅱ）在直線l上是否存在一點E，使得△ABM為等邊三角形（M點也在直線l上）？若存在，求出點E坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知曲線C的方程x²=4y．
（Ⅱ）（ⅰ）設E（a，-2），，由題設知x₁²-2ax₁-8=0．同理可得：x₂²-2ax₂-8=0所以x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8，可得AB中點為，由此可知直線AB恒過一定點，并能求出該定點的坐標．
（ⅱ）由（ⅰ）知AB中點，直線AB的方程為，當a≠0時，AB的中垂線與直線y=-2的交點．若△ABM為等邊三角形，則，∴，解得a=±2，此時E（±2，-2），故滿足條件的點E存在，坐標為E（±2，-2）．
解答：解：（Ⅰ）曲線C的方程x²=4y（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）設E（a，-2），，
∵過點A的拋物線切線方程為，
∵切線過E點，∴，整理得：x₁²-2ax₁-8=0
同理可得：x₂²-2ax₂-8=0，∴x₁，x₂是方程x²-2ax-8=0的兩根，∴x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-8可得AB中點為
又，
∴直線AB的方程為即，∴AB過定點（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中點，直線AB的方程為
當a≠0時，則AB的中垂線方程為，
∴AB的中垂線與直線y=-2的交點∴
∵
若△ABM為等邊三角形，則，
∴，
解得a²=4，∴a=±2，此時E（±2，-2），
當a=0時，經檢驗不存在滿足條件的點E
綜上可得：滿足條件的點E存在，坐標為E（±2，-2）．（15分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時要注意公式的靈活運用，注意計算能力的培養．