Question

設

a

=(cosx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

，給出下列四個命題：
①函數在區間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數；
②把f（x）圖象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后得到函數g（x）的圖象，則g（x）是偶函數；
③存在x∈(0，

π

4

)使f(x)=

2

3

④函數y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正確命題的序號是______．

Answer 1

∵

a

=(cosx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）
①∵令2x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]（k∈Z），可得x∈[

π

8

+kπ，

5π

8

+2kπ]（k∈Z）
∴取k=0，得區間[

π

8

，

5π

8

]是函數f（x）的一個減區間，故①正確；
②把f（x）圖象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后，得到y=f（x+

π

8

）=

2

sin[2（x+

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（2x+

π

2

），
即y=

2

cos2x的圖象，所以平移后的圖象為偶函數，故②正確；
③當x∈(0，

π

4

)時，2x+

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），可得sin（2x+

π

4

）∈（

2

2

，1）
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）∈（1，

2

）．故不存在x∈(0，

π

4

)使f(x)=

2

3

，從而③不正確；
④∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的周期為T=

2π

2

=π，
∴y=|f（x）|的周期為

1

2

×π=

π

2

，因此④不正確
綜上所述，可得正確的命題只有①②
故答案為：①②