Question

已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上，離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設點F是橢圓在y軸正半軸上的一個焦點，點A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足，過點A，B分別作拋物線的兩條切線，設兩切線的交點為M，試推斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）為定值0.

解析:

（Ⅰ）設橢圓方程為(a＞b＞0).       

因為，得.又，則.

故橢圓的標準方程是.                           （5分）

（Ⅱ）由橢圓方程知，c＝1，所以焦點F(0，1)，設點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由，得(－x₁，1－y₁)＝λ(x₂，y₂－1)，所以－x₁＝λx₂，1－y₁＝λ(y₂－1). （7分）

于是.因為，，則y₁＝λ²y₂.

聯立y₁＝λ²y₂和1－y₁＝λ(y₂－1)，得y₁＝λ，y₂＝.              （8分）

因為拋物線方程為y＝x²，求導得y′＝x．設過拋物線上的點A、B的切線分別為l₁，l₂，則

直線l₁的方程是y＝x₁(x－x₁)＋y₁，即y＝x₁x－x₁².      （9分）

直線l₂的方程是y＝x₂(x－x₂)＋y₂，即y＝x₂x－x₂²．         （10分）

聯立l₁和l₂的方程解得交點M的坐標為.         （11分）

因為x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4. 所以點M．              （12分）

于是，(x₂－x₁，y₂－y₁).

所以＝＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0.

故為定值0.        （13分）