Question

（2012•武昌區模擬）如圖，已知四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱A₁A垂直于底面ABCD．底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁=2．
（I）求證：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；
（II）求側棱DD₁與底面ABCD所成的角；
（III）求四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁，只需證明線面垂直，即證BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）過D₁作D₁H⊥AD于H，則D₁H∥A₁A，可得∠D₁DH為側棱DD₁與底面ABCD所成的角，進而在Rt△D₁DH中可求；
（Ⅲ）在Rt△D₁DH中，求得D1H=

3

，而A₁A=D₁H，從而可求四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵AA₁⊥平面 ABCD，∴AA₁⊥BD．
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵AA₁與AC是平面A₁ACC₁內的兩條相交直線，
∴BD⊥平面A₁ACC₁
∵BD?平面B₁BDD₁，
∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁．    …（4分）
（Ⅱ）解：過D₁作D₁H⊥AD于H，則D₁H∥A₁A．
∵AA₁⊥平面 ABCD，∴D₁H⊥平面ABCD．
∴∠D₁DH為側棱DD₁與底面ABCD所成的角．
在Rt△D₁DH中，DH=2-1=1，DD₁=2，∴cos∠D1DH=

1

2

，∴∠D₁DH=60°．    …（8分）
（Ⅲ） 解：在Rt△D₁DH中，求得D1H=

3

，而A₁A=D₁H，
所以V=

1

3

AA1(S1+

S1S2

+S2)=

7 3

3

．    …（12分）

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查棱臺的體積，解題的關鍵是利用線面垂直證明面面垂直，正確作出面面角，屬于中檔題．