Question

已知集合A=[2，log₂t]，集合B={x|x²-8x+12≤0}，x，t∈R，且A⊆B．
（1）對于區間[a，b]，定義此區間的“長度”為b-a，若A的區間“長度”為1，試求t的值．
（2）某個函數f（x）的值域是B，且f（x）∈A的概率不小于，試確定t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據log₂t-2=1，可得log₂t=3，即可得到答案．
（2）根據集合B={x|x²-8x+12≤0}可求出集合B的取值范圍，即可得到函數f（x）的值域，又因為f（x）∈A的概率不小于，可求得區間A的長度，進而得到有關t的值．
解答：解：（1）∵A的區間“長度”為1，
∴log₂t-2=1，即log₂t=3，
∴t=8．
（2）由x²-8x+12≤0，得2≤x≤6
B=[2，6]，
∴B的區間長度為4．設A的區間“長度”為x，因f（x）∈A的概率不小于，
∴，
∴x≥2，即log₂t-2≥2，解得t≥2⁴=16．
又A⊆B，
∴log₂t≤6，即t≤2⁶=64，
所以t的取值范圍為[16，64]．
點評：本題主要考查對數的運算問題．這里還涉及到概率的有關問題，是一個小綜合題．