Question

18．下列關于四邊形ABCD判斷正確的是（　�。�
①若$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，則四邊形ABCD是平行四邊形；
②若$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，則四邊形ABCD是梯形；
③若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}，且|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|$，則四邊形ABCD是菱形；
④若$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$，則四邊形ABCD是矩形．

• A． ②③④
• B． ①②③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據向量在幾何中的應用問題，結合題意，對題目中的命題進行分析、判斷正誤即可．

解答 解：對于①，若$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，則|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{BC}$|且$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{BC}$，四邊形ABCD是平行四邊形，①正確；
對于②，若$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，|$\overrightarrow{AD}$|≠|$\overrightarrow{BC}$且$\overrightarrow{AD}$∥||$\overrightarrow{BC}$，四邊形ABCD是梯形，②正確；
對于③，由$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$得出四邊形ABCD是平行四邊形，
由|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|，得出平行四邊形ABCD是菱形，③正確；
對于④，由$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|$，得${（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）}^{2}$=${（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）}^{2}$，
即${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0即AB⊥AD，如圖所示

又四邊形ABCD不一定是平行四邊形，
∴四邊形ABCD不一定是矩形，④錯誤．
綜上，正確命題的序號為①②③．
故選：B．

點評 本題主要考查了向量在幾何中的應用以及數量積為0與兩向量垂直的關系，也考查了分析問題的能力，是綜合性題目．