Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且有一個頂點的坐標為（0，1）．
（Ⅰ） 求該橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過點P(0，-

1

3

)的直線l交橢圓于A，B兩點，是否存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個定點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且有一個頂點的坐標為（0，1），知a²=2b²，b=1，a²=2．由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）假設存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個定點．當AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1．當AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．由此能夠推導出存在定點Q（0，1），使以AB為直徑的圓恒過這個定點．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，
且有一個頂點的坐標為（0，1），
∴a²=2b²，b=1，a²=2．
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）假設存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個定點．
當AB⊥x軸時，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1．
當AB⊥y軸時，以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=

16

9

．
解得這兩個圓的交點坐標為（0，1），那么這個定點坐標為（0，1）．（9分）
下證以AB為直徑的圓恒過定點Q（0，1）．
設直線l：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，有(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=

-16

9(2k2+1)

．（11分）
則

QA

=(x1，y1-1)，

QB

=(x2，y2-1)，

QA

•

QB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)

=(1+k2)x1x2- 4 3 k(x1+x2)+ 16 9 =(1+k2) -16 9(2k2+1) - 4 3 k 4k 3(2k2+1) + 16 9 =0

∴存在定點Q（0，1），使以AB為直徑的圓恒過這個定點．（15分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點是否存在的探索．綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．