Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．
（1）求直線BC₁和平面AA₁C₁C所成的角；
（2）求證：平面AA₁C₁C⊥平面AB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）要求BC₁和平面AA₁C₁C所成的角，需找到過BC₁上某點(diǎn)垂直于平面AA₁C₁C的直線（BD滿足），再由線面所成角的定義即可求得答案；
（2）利用BD∥B₁D₁與面面垂直的判定定理即可獲證．

解答：解：（1）設(shè)正四面體邊長為a，
∵AC⊥BD，AA₁⊥BD，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，垂足為點(diǎn)O，
則BC₁和平面AA₁C₁C所成的角即為BD與OC₁所成的角．
∵BC₁=

2

a，BD=

2

2

a
∴∠BC₁D=30°
即BC₁和平面AA₁C₁C所成的角為30°；
（2）證明：∵BD∥B₁D₁，
∴由（1）知B₁D₁⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AB₁D₁⊥平面AA₁C₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角與平面與平面垂直的判定，考查分析與證明的能力，屬于中檔題．