Question

（02年北京卷文）（12分）

如圖，在多面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h..

   （Ⅰ）求側面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角正切值；

   （Ⅱ）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式

 V_估=S_中截面?h來計算.已知它的體積公式是

 （S_上底面+4S_中截面+S_下底面），

試判斷V_估與V的大小關系，并加以證明.

   （注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面.）

Answer 1

解析：（1）解：過B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于

PQ,過B₁作B₁G⊥PQ,垂足為G.∵平面ABCD∥平

面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥

B₁P. ∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.過C₁作

C₁H⊥PQ，垂足為H.由于相對側面與底面所成二

面角的大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形.

，即所求二面角的正切值為.

  

 

（2）V_估＜V.證明： ∵a＞c，b＞d，∴

         ∴V_估＜V.