Question

已知橢圓內有圓，如果圓的切線與橢圓交A、B兩點，且滿足（其中為坐標原點）．

（1）求證：為定值；

（2）若達到最小值，求此時的橢圓方程；

（3）在滿足條件（2）的橢圓上是否存在點P，使得從P向圓所引的兩條切線互相垂直，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）方法1：設圓的切線的切點坐標為，則切線的方程為，與橢圓方程聯立消去得：．

設，因，所以，又，，所以． （*）

     將代入（*）得

，

因，因此，所以（定值）.

方法2：設切線的方程為，則有

     ，

所以.

因，所以，即

     （定值）．

（2）因，

所以．

當時取到最小值，此時橢圓的方程為．

（3）如果存在滿足條件的點P，則向圓引兩條切線，切點分別為M、N，連結OM、ON，則，如果，則四邊形OMPN為正方形，所以，因為橢圓上到中心最近的點為短軸的端點，距離為，故存在四個點滿足條件，其坐標為，即．

 

【解析】略