Question

對于矩陣A，如果存在一個矩陣A^-1，使得AA^-1=A^-1A=E（E為單位矩陣），則稱矩陣A是“可逆”的，把矩陣A^-1叫做A的“逆矩陣”．
（1）已知A=

1 -1 1 1

， B=

1 2 1 2 - 1 2 1 2

，求證B為A的逆矩陣
（2）若A=

2 1 -1 0

，求A的逆矩陣．

Answer 1

分析：（1）欲證明B為A的逆矩陣，根據題意只須證明AB=BA=E即可B為A的逆矩陣；
（2）先設B=

a b c d

是A的逆矩陣，則AB=

2 1 -1 0

a b c d

=

1 0 0 1

列出關于a，b，c，d的方程組，求得它們的值，再結合

1 0 0 1

2 1 -1 0

=

1 0 0 1

即可．

解答：解（1）AB=

1 -1 1 1

1 2 1 2 - 1 2 1 2

=

1 0 0 1

，
BA=

1 2 1 2 - 1 2 1 2

1 -1 1 1

=

1 0 0 1

所以B為A的逆矩陣．（5分）
（2）設B=

a b c d

是A的逆矩陣，則AB=

2 1 -1 0

a b c d

=

1 0 0 1

⇒

2a+c 2b+d -a -b

=

1 0 0 1

⇒

2a+c=1 2b+d=0  -a=0  -b=1

⇒

a=0 b=-1 c=1 d=2

（8分）
又因為

1 0 0 1

2 1 -1 0

=

1 0 0 1

，（9分）
所以A的逆矩陣是B=

0 -1 1 2

．（10分）

點評：本小題主要考查逆變換與逆矩陣、逆矩陣解法等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．