Question

設命題P：函數f（x）=x+

a

x

（a＞0）在區間（1，2）上單調遞增；命題Q：不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立．若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍是（　　）

A． 3 4 ＜a≤1	B． 3 4 ≤a＜1
C．0＜a≤ 3 4 或a＞1	D．0＜a＜ 3 4 或a≥1

Answer 1

∵f（x）=x+

a

x

，
∴f′（x）=

x2-a

x2

，
∵f（x）在（1，2）上單調遞增，
∴f′（x）=

x2-a

x2

≥0在（1，2）恒成立．
∴a≤1
即若p真則a≤1．
∵不等式|x-1|-|x+2|＜4a對任意x∈R都成立，
所以|x-1|-|x+2|的最大值小于4a即可．
所以3＜4a，
所以a＞

3

4

，
即若q真則有a＞

3

4

，
∵“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，
∴p，q中有一個真一個假，
所以當p真q假有

a≤1 a≤ 3 4

即0＜a≤

3

4

；
當p假q真有

a＞1 a＞ 3 4

即a＞1
故若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，則實數a的取值范圍：（0，

3

4

]∪（1，+∞）．
故選C．