Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（m∈Z），則稱m為離實數x最近的整數，記作{x}=m，在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的五個命題：
①函數y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；
②函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
③函數y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數；
④函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
⑤函數y=f（x）的圖象關于點（k，0）（k∈Z）對稱．
其中正確的命題有（　　）個．

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：本題為新定義問題，因為m為整數，故可取m為幾個特殊的整數進行研究，從而可得函數的圖象，利用函數的圖象即可求得結論．

解答：解：由題意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1時，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由圖象可知正確命題為①②④，
故選B．

點評：本題是新定義問題，考查函數的性質，可結合圖象進行研究，體現數形結合思想，解題的關鍵是正確作出函數的圖象．