Question

（22）已知函數且存在使

（I）證明：是R上的單調增函數；

（II）設

其中　

證明：

（III）證明：

Answer 1

解：(1)∵f′(x)=3x²－2x+=3(x－)²+＞0,    ∴f(x)是R上的單調增函數.

（Ⅱ）∵0＜x₀＜,  即  x₁＜x₀＜y₁.   又f(x)是增函數.  ∴f(x₁)＜f(x₀)＜f(y₁),

即x₂＜x₀＜y₂,  又   x₂=f(x₁)=f(0)= ＞0=x₁,y₂=f(y₁)=f()=＜=y₁.

綜上，x₁＜x₂＜x₀＜y₂＜y₁.

用數學歸納法證明如下：（1）當n=1時，上面已證明成立.

(2)假設當n=k  (k≥1)時有  x_k＜x_k+1＜x₂＜y_k+1＜y₂.

當n=k+1時，由f(x)是單調增函數，有f(x_k)＜f(x_k+1)＜f(x₀)＜f(y_k+1)＜f(y_k)，

∴x_k+1＜x_k+2＜x₀＜y_k+2＜y_k+1.